Théorèmes du cercle
Huit théorèmes sur le cercle, un par un. Fais glisser les points sur le cercle et regarde les angles changer pendant que le théorème reste vrai, avec la justification à écrire en contrôle.
Mesures
Ce qui se passe
Tous les théorèmes du cercle viennent d'un seul fait : les rayons OA, OB et OC sont égaux, donc les triangles qu'ils forment avec les cordes sont isocèles. En découpant la figure au centre, on obtient le théorème principal : l'angle au centre est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc. Le reste en découle.
Deux angles inscrits qui interceptent le même arc valent la moitié du même angle au centre, donc ils sont égaux. Un diamètre donne un angle au centre de 180°, donc un triangle inscrit dans un demi-cercle est rectangle. Les angles opposés d'un quadrilatère inscrit interceptent deux arcs qui forment tout le cercle, donc ils sont supplémentaires.
Une tangente touche le cercle en un seul point et elle est perpendiculaire au rayon en ce point : les deux tangentes issues d'un point extérieur ont donc la même longueur, et l'angle entre une tangente et une corde est égal à l'angle inscrit de l'autre côté. La perpendiculaire du centre à une corde coupe un triangle isocèle en deux, donc elle passe par le milieu de la corde.
- Angle au centre∠AOB = 2∠ACB
- Angles inscrits interceptant le même arc∠ACB = ∠ADB
- Quadrilatère inscriptible∠A + ∠C = 180°
- Tangente et rayontangente ⟂ rayon
Au programme
- Collège et lycée 3eangle inscrit et angle au centre, triangle inscrit dans un demi-cercle, tangente à un cercle
- Premièrequadrilatère inscriptible
Défi
Prédis d'abord : pour l'angle au centre, place A à 40°, B à 150° et C à 270°. Combien mesure l'angle x = ∠ACB ? Calcule d'abord ∠AOB, tape x (la figure le cache pendant que tu tapes) et appuie sur Vérifier.
∠AOB = 150° − 40° = 110°, et l'angle inscrit en vaut la moitié, donc x = 55°. Fais maintenant glisser C sur le petit arc entre A et B : ∠AOB devient l'angle rentrant de 250° et x devient 125°, toujours exactement la moitié.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
- The circle theoremsCircles and circle theoremsGratuit
- TangentsCircles and circle theoremsPlus
- Chains of reasoningCircles and circle theoremsPlus
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Questions fréquentes
Quel lien entre angle inscrit et angle au centre ?
L'angle au centre est le double de tout angle inscrit qui intercepte le même arc. Si l'angle au centre mesure 120°, l'angle inscrit mesure 60°.
Pourquoi un triangle inscrit dans un demi-cercle est-il rectangle ?
Son angle intercepte un diamètre, dont l'angle au centre mesure 180°, et l'angle inscrit en vaut la moitié : 90°.
Que vaut la somme des angles opposés d'un quadrilatère inscrit ?
180°. Chacun vaut la moitié de l'angle au centre de son arc, et les deux arcs forment le cercle entier, 360°.
Qu'est-ce que le théorème de l'angle tangentiel ?
L'angle entre une tangente et une corde issue du point de contact est égal à tout angle inscrit qui intercepte cette corde de l'autre côté.
Quelle est la longueur d'une tangente issue d'un point à 13 cm du centre d'un cercle de rayon 5 cm ?
La tangente est perpendiculaire au rayon, donc PT² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 et PT = 12 cm. Dans Calculer, c'est Longueur de tangente, et Trouver x donne l'angle manquant avec sa justification pour chaque théorème.