Transformations de courbes
Choisis une courbe, puis dilate-la, retourne-la et déplace-la avec y = a f(b(x − h)) + k. La courbe pâle est l'originale, la courbe épaisse son image, et le point doré montre où va un point.
Juste le résultat ? Calculatrice graphique
Mesures
Ce qui se passe
Ce qui est hors de la parenthèse agit sur y et fait ce qu'il semble faire : y = a f(x) dilate la courbe parallèlement à l'axe des ordonnées de rapport a (si a est négatif, elle est aussi retournée par la symétrie d'axe des abscisses), et y = f(x) + k la monte de k. Ce qui est dans la parenthèse agit sur x et fait l'inverse de ce qu'il semble faire : y = f(bx) dilate parallèlement à l'axe des abscisses de rapport 1/b, donc f(2x) réduit la largeur de moitié, et f(x − h) décale de h vers la droite, donc f(x + 2) décale de 2 vers la gauche. Au total, chaque point (x ; y) de y = f(x) va en (x/b + h ; ay + k).
L'ordre compte dans la parenthèse : f(2x − 6) = f(2(x − 3)), soit une dilatation de rapport 1/2 puis une translation de 3 vers la droite, pas de 6. Les asymptotes suivent la courbe : 1/(x − 3) + 1 a pour asymptotes x = 3 et y = 1.
- Transformation généraley = a f(b(x − h)) + k
- Où va un point(x ; y) → (x/b + h ; ay + k)
- Translationf(x − h) : translation de vecteur (h ; 0)
- Dilatation horizontalef(bx) : dilatation horizontale de rapport 1/b
Au programme
- Lycée secondefonctions de référence et translations
- Première et terminale spécialité mathscourbes de f(x) + k, f(x + a), a f(x), f(bx), symétries et asymptotes
Défi
Prédis d'abord : le point (2 ; 4) est sur y = x². Où va-t-il sur y = 2(x + 1)² − 3 ? Calcule sa nouvelle abscisse, tape-la, appuie sur Vérifier, puis règle a = 2, h = −1 et k = −3 avec le point en x = 2.
Ici a = 2, b = 1, h = −1 et k = −3, donc (2 ; 4) va en (2 − 1 ; 2 × 4 − 3) = (1 ; 5). La courbe est dilatée verticalement de rapport 2, puis translatée de vecteur (−1 ; −3).
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
- Recognising graphsFunctions and graph transformationsPlus
- Translating graphsFunctions and graph transformationsPlus
- Reflections and trigonometric graphsFunctions and graph transformationsPlus
Voir tout le coursLe cours complet, les tests par thème et les examens blancs sont inclus dans Plus. Voir Plus
Questions fréquentes
Pourquoi f(x + 2) décale-t-elle la courbe vers la gauche ?
Parce que la nouvelle courbe atteint chaque valeur 2 unités plus tôt : ce que f faisait en x = 0 arrive maintenant en x = −2. Donc y = f(x + a) est la translation de vecteur (−a ; 0).
Quelle différence entre 2f(x) et f(2x) ?
2f(x) double chaque ordonnée : dilatation verticale de rapport 2. f(2x) atteint chaque valeur pour un x deux fois plus petit : dilatation horizontale de rapport 1/2.
Que font −f(x) et f(−x) ?
−f(x) est la symétrie d'axe des abscisses (chaque y change de signe). f(−x) est la symétrie d'axe des ordonnées (chaque x change de signe).
Comment décrire y = f(2x − 6) ?
Factorise d'abord : f(2x − 6) = f(2(x − 3)). C'est une dilatation horizontale de rapport 1/2, puis une translation de vecteur (3 ; 0). Translater de 6 d'abord donnerait une autre courbe.
Quel point a pour image (5, 7) par y = 2f(x − 3) + 1 ?
Défais chaque étape : x = 5 − 3 = 2 et y = (7 − 1) / 2 = 3, donc (2, 3) a pour image (5, 7). Dans Calculer, choisis Antécédent, tape a = 2, b = 1, h = 3, k = 1 et l'image.