Fonctions du second degré : racines et sommet
Change a, b et c et regarde la parabole bouger : ses racines, son sommet et son axe de symétrie, avec la forme canonique et la forme factorisée calculées exactement.
Juste le résultat ? Résoudre une équation
Mesures
Ce qui se passe
Toute fonction y = ax² + bx + c se représente par une parabole, tournée vers le haut si a > 0 et vers le bas si a < 0. Elle est symétrique par rapport à la droite verticale x = −b/2a, et le sommet est sur cette droite. La forme canonique y = a(x − α)² + β donne directement le sommet (α ; β), car un carré n'est jamais négatif.
Les racines sont les abscisses des points où la courbe coupe l'axe des abscisses, et la formule du discriminant les donne. Le discriminant Δ = b² − 4ac décide de leur nombre : positif, deux racines réelles ; nul, une racine double où la courbe touche juste l'axe ; négatif, aucune racine réelle, car il faudrait la racine carrée d'un nombre négatif (les racines sont alors complexes). Quand Δ est un carré parfait, les racines sont rationnelles et le trinôme se factorise.
- Formule des racinesx = (−b ± √Δ) / 2a
- Forme canoniquey = a(x − α)² + β, α = −b/2a
- DiscriminantΔ = b² − 4ac
Au programme
- Lycée spécialité maths, premièresecond degré, forme canonique, discriminant, factorisation et signe du trinôme
- Terminale maths expertesracines complexes
Défi
Prédis d'abord : pour y = 2x² − 8x + 3, où est le sommet, et combien de fois la courbe coupe-t-elle l'axe des abscisses ? Tape l'abscisse du sommet, appuie sur Vérifier, puis règle a, b et c pour voir.
L'axe de symétrie est x = −(−8)/(2 × 2) = 2, et y = 2(2)² − 8(2) + 3 = −5 : le sommet est (2 ; −5), un minimum. Δ = 64 − 24 = 40 > 0, donc il y a deux racines réelles, (4 ± √10)/2, environ 0,419 et 3,581.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
- Solving by factorisingQuadraticsGratuit
- Quadratic graphsQuadraticsPlus
- Completing the squareQuadraticsPlus
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Questions fréquentes
Comment trouver le sommet d'une parabole ?
Mets le trinôme sous forme canonique : y = a(x − α)² + β a pour sommet (α ; β). Ou calcule α = −b/2a puis β en remplaçant x par α. Pour y = x² − 2x − 3, α = 1 et β = −4.
Que dit le discriminant ?
Si Δ > 0, deux racines réelles ; si Δ = 0, une racine double (la courbe touche l'axe des abscisses) ; si Δ < 0, aucune racine réelle (la courbe ne coupe pas l'axe).
Quand un trinôme se factorise-t-il avec des rationnels ?
Quand ses racines sont rationnelles, c'est-à-dire quand Δ est un carré parfait. x² − 2x − 3 a Δ = 16 = 4², donc x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
Comment résoudre x² − 2x − 3 > 0 ?
Trouve les racines (−1 et 3), trace la parabole et regarde où elle est au-dessus de l'axe. Si a > 0, c'est à l'extérieur des racines : x < −1 ou x > 3. Pour < 0, c'est entre les racines : −1 < x < 3.
Comment retrouver un trinôme à partir de ses racines ?
Écris y = a(x − r₁)(x − r₂) et utilise une information de plus pour fixer a. Racines 1 et 3, passant par (0, 6) : 6 = a(0 − 1)(0 − 3) = 3a, donc a = 2 et y = 2x² − 8x + 6. Dans Calculer, choisis Racines et un point pour voir les calculs.