Cercle trigonométrique : valeurs remarquables
Le cercle trigonométrique a pour rayon 1 et pour centre l'origine : le point associé à l'angle θ a pour coordonnées (cos θ, sin θ). Fais glisser le point pour voir les valeurs exactes.
0°
0 rad
Sur le demi-axe des abscisses positives
Le point a pour coordonnées (cos θ, sin θ): (1; 0)
Courbes du sinus et du cosinus
Les flèches déplacent de 1°, Page préc. et Page suiv. de 15°.
Raccourcis clavier
- Les flèches déplacent de 1°, Page préc. et Page suiv. de 15°.
- ?
- Raccourcis clavier
Comment ça marche
Mesure l'angle θ dans le sens direct (contraire des aiguilles d'une montre) à partir de l'axe des abscisses. Le rayon relie le centre au point. C'est l'hypoténuse d'un triangle rectangle, et il mesure 1.
Le côté horizontal vaut 1 × cos θ et le côté vertical 1 × sin θ. Le point du cercle a donc pour coordonnées (cos θ, sin θ), et tan θ = sin θ ÷ cos θ.
Valeurs exactes de 0° à 90°
Retiens ces cinq lignes. Tous les autres angles remarquables du cercle reprennent les mêmes nombres, avec un autre signe.
| Angle | Radians | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π/6 | 1/2 | 3/2 | 3/3 |
| 45° | π/4 | 2/2 | 2/2 | 1 |
| 60° | π/3 | 3/2 | 1/2 | 3 |
| 90° | π/2 | 1 | 0 | non définie |
Tu verras aussi tan 30° écrit 1/3 et sin 45° écrit 1/2. Ce sont les mêmes nombres : 1/3 = 3/3 et 1/2 = 2/2.
Tous les angles remarquables du cercle
Au-delà de 90°, cherche l'angle de référence (l'angle aigu entre le rayon et l'axe des abscisses), lis ses valeurs dans le tableau ci-dessus, puis donne à chacune le signe de son quadrant.
| Angle | Radians | sin θ | cos θ | tan θ |
|---|---|---|---|---|
| 120° | 2π/3 | 3/2 | −1/2 | −3 |
| 135° | 3π/4 | 2/2 | −2/2 | −1 |
| 150° | 5π/6 | 1/2 | −3/2 | −3/3 |
| 180° | π | 0 | −1 | 0 |
| 210° | 7π/6 | −1/2 | −3/2 | 3/3 |
| 225° | 5π/4 | −2/2 | −2/2 | 1 |
| 240° | 4π/3 | −3/2 | −1/2 | 3 |
| 270° | 3π/2 | −1 | 0 | non définie |
| 300° | 5π/3 | −3/2 | 1/2 | −3 |
| 315° | 7π/4 | −2/2 | 2/2 | −1 |
| 330° | 11π/6 | −1/2 | 3/2 | −3/3 |
| 360° | 2π | 0 | 1 | 0 |
L'essentiel
- Point du cercle : (cos θ, sin θ). L'abscisse est cos θ et l'ordonnée sin θ.
- Tangente : tan θ = sin θ ÷ cos θ. Elle n'est pas définie en 90° et 270°, car cos θ y vaut 0 et on ne divise pas par 0.
- Identité : sin²θ + cos²θ = 1 pour tout angle. C'est Pythagore dans le triangle, dont l'hypoténuse mesure 1.
- Signes par quadrant : dans le premier, les trois sont positifs ; dans le deuxième, seulement le sinus ; dans le troisième, seulement la tangente ; dans le quatrième, seulement le cosinus.
- Symétries : sin(180° − θ) = sin θ et cos(180° − θ) = −cos θ. Dans l'autre sens, sin(−θ) = −sin θ et cos(−θ) = cos θ.
- Période : les valeurs se répètent tous les 360°, donc sin(θ + 360°) = sin θ et cos(θ + 360°) = cos θ.
- Degrés en radians : multiplie par π/180, donc 30° = π/6 et 135° = 3π/4. Pour revenir, multiplie par 180/π.
Exemples corrigés
Exemple 1
Trouve les valeurs exactes de sin, cos et tan pour 150°.
- 150° est dans le deuxième quadrant, où le sinus est positif et le cosinus négatif.
- L'angle de référence est 180° − 150° = 30°.
- sin 30° = 1/2 et cos 30° = 3/2.
- Donc sin 150° = 1/2, cos 150° = −3/2 et tan 150° = (1/2) ÷ (−3/2) = −1/3 = −3/3.
Réponse: sin 150° = 1/2, cos 150° = −3/2, tan 150° = −3/3.
Exemple 2
Résous sin θ = 1/2 pour 0° ≤ θ < 360°.
- sin θ est positif, donc θ est dans le premier ou le deuxième quadrant.
- sin 30° = 1/2, donc l'angle de référence est 30°.
- Premier quadrant : θ = 30°. Deuxième quadrant : θ = 180° − 30° = 150°.
Réponse: θ = 30° ou θ = 150° (π/6 ou 5π/6 en radians).
Erreurs fréquentes
- Donner un signe positif au cosinus dans le deuxième quadrant : seul le sinus y est positif.
- Inverser sin et cos : x correspond à cos θ et y à sin θ.
- Donner une valeur à tan 90° : elle n'est pas définie, car cos 90° = 0.
- S'arrêter à une seule solution : sin θ = 1/2 en a deux entre 0° et 360°, 30° et 150°.
- Se tromper d'unité : regarde si l'énoncé est en degrés ou en radians, et règle ta calculatrice en conséquence. 150° font 5π/6 radians.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
- Sin, cos and tan for sidesPythagoras and trigonometryGratuit
- Exact values and 3DPythagoras and trigonometryPlus
- Reflections and trigonometric graphsFunctions and graph transformationsPlus
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Questions fréquentes
- Pourquoi le point a-t-il pour coordonnées (cos θ, sin θ) ?
- Le rayon est l'hypoténuse du triangle rectangle et mesure 1. Le côté horizontal vaut 1 × cos θ et le côté vertical 1 × sin θ : ce sont les coordonnées du point.
- D'où viennent les valeurs exactes comme √3/2 ?
- De deux triangles particuliers. La moitié d'un triangle équilatéral de côté 2 a pour côtés 1, 3 et 2, donc sin 60° = 3/2 et cos 60° = 1/2. Un triangle rectangle isocèle de côtés 1 a une hypoténuse de 2, donc sin 45° = cos 45° = 2/2.
- Qu'est-ce qu'un angle de référence ?
- C'est l'angle aigu entre le rayon et l'axe des abscisses. Un angle et son angle de référence ont les mêmes sin, cos et tan au signe près, qui dépend du quadrant.
- Pourquoi tan 90° n'est-elle pas définie ?
- tan θ = sin θ ÷ cos θ, et en 90° cos θ = 0 : tan 90° reviendrait à diviser 1 par 0, ce qui n'a pas de valeur. La courbe de la tangente a une asymptote verticale en 90°, et c'est pareil en 270°.
- Quelles valeurs exactes faut-il connaître pour le GCSE ?
- Le programme suivi par AQA, Pearson Edexcel et OCR (DfE G21) demande de connaître sin et cos de 0°, 30°, 45°, 60° et 90°, et tan de 0°, 30°, 45° et 60°, sans calculatrice. C'est le premier tableau de cette page, valable pour les niveaux Foundation et Higher.
- Pourquoi sin 30° = cos 60° ?
- Dans un triangle rectangle, les deux autres angles font 90° à eux deux : le côté opposé à 30° est le côté adjacent à 60°. sin 30° et cos 60° sont donc le même rapport, 1/2. En général, sin θ = cos(90° − θ) ; c'est pourquoi sin 60° = cos 30° = 3/2 aussi.