Quadratische Funktionen: Nullstellen und Scheitel
Ändere a, b und c und sieh zu, wie die Parabel wandert: Nullstellen, Scheitelpunkt und Symmetrieachse, dazu Scheitelpunktform und faktorisierte Form exakt berechnet.
Nur das Ergebnis? Gleichungslöser
Messwerte
Was passiert hier
Jede Funktion y = ax² + bx + c ist eine Parabel, nach oben geöffnet für a > 0 und nach unten für a < 0. Sie ist symmetrisch zur senkrechten Geraden x = −b/2a, und der Scheitelpunkt liegt auf dieser Geraden. Die quadratische Ergänzung schreibt sie als y = a(x − d)² + e, und daran liest man den Scheitelpunkt (d | e) direkt ab, weil das Quadrat nie negativ ist.
Die Nullstellen sind die Stellen, an denen die Kurve die x-Achse trifft; die Mitternachtsformel berechnet sie. Die Diskriminante b² − 4ac entscheidet, wie viele es gibt: positiv bedeutet zwei Nullstellen, null eine doppelte Nullstelle, an der die Kurve die Achse nur berührt, negativ keine, weil man die Wurzel aus einer negativen Zahl bräuchte (die Lösungen sind dann komplex). Ist die Diskriminante eine Quadratzahl, sind die Nullstellen rational und der Term lässt sich faktorisieren.
- Mitternachtsformelx = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- Scheitelpunktformy = a(x − d)² + e, d = −b/2a
- DiskriminanteD = b² − 4ac
Im Lehrplan
- Mittelstufe Klasse 9 und 10quadratische Funktionen, Scheitelpunktform, quadratische Ergänzung, Mitternachtsformel und Diskriminante
- Oberstufequadratische Ungleichungen und komplexe Lösungen
Challenge
Erst schätzen: Wo liegt der Scheitelpunkt von y = 2x² − 8x + 3, und wie oft schneidet die Kurve die x-Achse? Gib die x-Koordinate des Scheitels ein, drück Prüfen und stell dann a, b und c ein.
Die Symmetrieachse ist x = −(−8)/(2 × 2) = 2, und y = 2(2)² − 8(2) + 3 = −5, der Scheitelpunkt ist also (2 | −5), ein Tiefpunkt. Die Diskriminante ist 64 − 24 = 40 > 0, also gibt es zwei Nullstellen, (4 ± √10)/2, etwa 0,419 und 3,581.
Richtig lernen
Lektionen aus GCSE Maths zu diesem Thema: Schritt für Schritt erklärt, dann Prüfungsfragen mit jedes Mal neuen Zahlen. Die Lektionen sind auf Englisch.
- Solving by factorisingQuadraticsKostenlos
- Quadratic graphsQuadraticsPlus
- Completing the squareQuadraticsPlus
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Häufige Fragen
Wie finde ich den Scheitelpunkt einer Parabel?
Mit quadratischer Ergänzung: y = a(x − d)² + e hat den Scheitel (d | e). Oder d = −b/2a berechnen und einsetzen, um e zu bekommen. Für y = x² − 2x − 3 ist d = 1 und e = −4.
Was sagt die Diskriminante?
Ist b² − 4ac > 0, gibt es zwei Nullstellen; ist b² − 4ac = 0, eine doppelte Nullstelle (die Parabel berührt die x-Achse); ist b² − 4ac < 0, gibt es keine reelle Nullstelle.
Wann lässt sich ein quadratischer Term faktorisieren?
Wenn die Nullstellen rational sind, also genau dann, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. x² − 2x − 3 hat die Diskriminante 16 = 4², also ist x² − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1).
Wie löse ich x² − 2x − 3 > 0?
Nullstellen bestimmen (−1 und 3), Parabel skizzieren und ablesen, wo sie über der Achse liegt. Bei einer nach oben geöffneten Parabel außerhalb der Nullstellen: x < −1 oder x > 3. Für < 0 dazwischen: −1 < x < 3.
Wie finde ich eine quadratische Funktion aus ihren Nullstellen?
Schreibe y = a(x − r₁)(x − r₂) und lege a mit einer weiteren Angabe fest. Nullstellen 1 und 3, durch (0, 6): 6 = a(0 − 1)(0 − 3) = 3a, also a = 2 und y = 2x² − 8x + 6. Unter Berechnen zeigt Nullstellen und ein Punkt denselben Rechenweg.