Funciones cuadráticas: raíces y vértice
Cambia a, b y c y mira cómo se mueve la parábola: sus raíces, su vértice y su eje de simetría, con la forma completando el cuadrado y la forma factorizada calculadas de forma exacta.
¿Solo necesitas el número? Resolver ecuaciones
Lecturas
Qué está pasando
Toda función y = ax² + bx + c dibuja una parábola: abierta hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0. Es simétrica respecto a la recta vertical x = −b/2a, y el vértice está sobre esa recta. Completar el cuadrado la escribe como y = a(x − p)² + q, que da el vértice (p, q) directamente, porque el paréntesis al cuadrado nunca es negativo.
Las raíces son los puntos donde la curva corta al eje x, y la fórmula cuadrática las encuentra. El discriminante b² − 4ac decide cuántas hay: positivo da dos raíces reales, cero da una raíz doble donde la curva solo toca el eje, y negativo no da ninguna, porque haría falta la raíz cuadrada de un número negativo (las raíces son entonces complejas). Si el discriminante es un cuadrado perfecto, las raíces son racionales y la expresión se factoriza.
- Fórmula cuadráticax = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
- Forma completando el cuadradoy = a(x − p)² + q, p = −b/2a
- DiscriminanteΔ = b² − 4ac
En el temario
- ESO 4.º, Matemáticas académicasfunciones cuadráticas, vértice y ecuaciones de segundo grado
- Bachillerato Matemáticas Idiscriminante, inecuaciones de segundo grado y números complejos
Reto
Predice primero: para y = 2x² − 8x + 3, ¿dónde está el vértice y cuántas veces corta la curva al eje x? Escribe la coordenada x del vértice, pulsa Comprobar y luego ajusta a, b y c para verlo.
El eje de simetría es x = −(−8)/(2 × 2) = 2, e y = 2(2)² − 8(2) + 3 = −5, así que el vértice es (2, −5), un mínimo. El discriminante es 64 − 24 = 40 > 0, así que hay dos raíces reales, (4 ± √10)/2, más o menos 0,419 y 3,581.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Maths sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
- Solving by factorisingQuadraticsGratis
- Quadratic graphsQuadraticsPlus
- Completing the squareQuadraticsPlus
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Preguntas frecuentes
¿Cómo hallo el vértice de una parábola?
Completa el cuadrado: y = a(x − p)² + q tiene el vértice en (p, q). O usa p = −b/2a y sustituye para obtener q. Para y = x² − 2x − 3, p = 1 y q = −4.
¿Qué indica el discriminante?
Si b² − 4ac > 0 hay dos raíces reales, si b² − 4ac = 0 hay una raíz doble (la curva toca el eje x), y si b² − 4ac < 0 no hay raíces reales (la curva no corta el eje x).
¿Cuándo se puede factorizar una expresión de segundo grado?
Cuando sus raíces son racionales, es decir, cuando el discriminante es un cuadrado perfecto. x² − 2x − 3 tiene discriminante 16 = 4², así que se factoriza como (x − 3)(x + 1).
¿Cómo resuelvo una inecuación como x² − 2x − 3 > 0?
Halla las raíces (−1 y 3), dibuja la parábola y mira dónde queda por encima del eje. Si se abre hacia arriba es fuera de las raíces: x < −1 o x > 3. Para < 0 es entre ellas: −1 < x < 3.
¿Cómo hallo una cuadrática a partir de sus raíces?
Escribe y = a(x − r₁)(x − r₂) y usa un dato más para fijar a. Con raíces 1 y 3 que pase por (0, 6): 6 = a(0 − 1)(0 − 3) = 3a, así que a = 2 e y = 2x² − 8x + 6. En Calcular, elige Raíces y un punto para ver el desarrollo.