Gleichungslöser
Ein Gleichungslöser findet die Werte von x, für die eine Gleichung stimmt. Dieser löst lineare und quadratische Gleichungen, Gleichungssysteme und Ungleichungen und zeigt jeden Schritt des Rechenwegs.
So sieht es aus: Quadratische Funktionen: Nullstellen und Scheitel
Richtig lernen
Lektionen aus GCSE Maths zu diesem Thema: Schritt für Schritt erklärt, dann Prüfungsfragen mit jedes Mal neuen Zahlen. Die Lektionen sind auf Englisch.
- Solving one- and two-step equationsLinear equations and inequalitiesKostenlos
- Unknowns on both sides and bracketsLinear equations and inequalitiesKostenlos
- The quadratic formulaQuadraticsPlus
Ganzen Kurs ansehenDer ganze Kurs, Thementests und Probeprüfungen sind in Plus enthalten. Plus ansehen
Formeln
| Mitternachtsformel | x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a |
|---|---|
| Diskriminante | b² − 4ac: zwei Lösungen, wenn sie positiv ist, eine bei 0, keine reelle Lösung, wenn sie negativ ist |
| Lineare Gleichung | ax + b = c ergibt x = (c − b) / a |
Rechenbeispiel
Löse 2x² − 3x − 5 = 0.
- a = 2, b = −3 und c = −5.
- Diskriminante: (−3)² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49.
- √49 = 7, also x = (3 ± 7) / 4.
- x = 10/4 = 5/2 oder x = −4/4 = −1.
Ergebnis: x = 5/2 (2,5) oder x = −1.
Häufige Fehler
- Das Vorzeichen von b verlieren: Bei b = −3 ist −b gleich +3 und b² gleich +9, nie −9.
- Am Ende der Mitternachtsformel durch 2 statt durch 2a teilen.
- a, b und c ablesen, bevor die Gleichung gleich 0 ist: x² = 5x − 6 muss erst zu x² − 5x + 6 = 0 werden.
- Bei x² = 3x auf beiden Seiten durch x teilen, dann geht die Lösung x = 0 verloren. Klammere lieber aus: x(x − 3) = 0.
Über dieses Tool
Dieser Rechner löst die drei Arten von Gleichungen, die in Mathe am häufigsten vorkommen: lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten. Du bekommst nicht nur das Ergebnis, sondern den Rechenweg, von der Diskriminante und der Mitternachtsformel bis zu jedem Schritt des Additionsverfahrens. Lösungen erscheinen, wo möglich, als exakte Brüche mit Dezimalwert daneben. Er löst auch lineare und quadratische Ungleichungen mit Zahlenstrahl und kann Terme ausmultiplizieren, faktorisieren und vereinfachen, Schritt für Schritt.
Tipps
- Ist a = 1, kennst du das Ganze vielleicht als p-q-Formel. Mitternachtsformel und p-q-Formel liefern dieselben Lösungen, der Rechner arbeitet mit a, b und c.
- Sind die Lösungen rational, siehst du auch die faktorisierte Form, etwa (x - 2)(x - 3) für x² - 5x + 6. Der Scheitelpunkt liegt bei x = -b / 2a, genau in der Mitte zwischen den Nullstellen.
- Ergibt das Gleichungssystem zwei parallele Geraden, gibt es keine Lösung. Ist es zweimal dieselbe Gerade, gibt es unendlich viele. Beides sind gültige Antworten, keine Fehler.
Häufige Fragen
- Was bedeutet „keine reelle Lösung“?
- Keine reelle Zahl erfüllt die Gleichung: Der Graph der quadratischen Funktion schneidet die x-Achse nicht. Das passiert, wenn die Diskriminante b² − 4ac negativ ist, denn dann hat die Wurzel in der Lösungsformel keinen reellen Wert.
- Wie löst man ein lineares Gleichungssystem?
- Eine Unbekannte muss verschwinden. Beim Additionsverfahren multiplizierst du die Gleichungen so, dass eine Variable in beiden denselben Koeffizienten hat, und addierst oder subtrahierst sie. Beim Einsetzungsverfahren löst du eine Gleichung nach einer Variablen auf und setzt sie in die andere ein. Bestimme eine Unbekannte und setze sie ein, um die andere zu finden.
- Was, wenn meine Gleichung keine Lösung hat?
- Der lineare Modus sagt dir, wenn es keine Lösung gibt (zum Beispiel bei x + 1 = x + 2) oder wenn jedes x passt. Er meldet auch, wenn die Gleichung nicht linear ist, etwa weil x² vorkommt, damit du in den quadratischen Modus wechseln kannst.
- Was passiert bei a = 0?
- Dann fehlt das x², es ist also keine quadratische Gleichung. Der Rechner behandelt sie als lineare Gleichung bx + c = 0 und löst diese.
- Warum stehen da Brüche?
- Weil in Klassenarbeiten meist das exakte Ergebnis gefragt ist. Ein Bruch wie 2/3 ist exakt, 0,6667 dagegen gerundet. Der Rechner zeigt beides, damit du nehmen kannst, was die Aufgabe verlangt.