La integral como área bajo la curva
Una integral definida es el área con signo entre la curva y el eje x. Llénala de franjas, súmalas y mira cómo el total se acerca al valor exacto al estrecharlas.
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Error frente a n (escala logarítmica)
Lecturas
Qué está pasando
Divide el intervalo de a a b en n franjas de anchura h = (b − a)/n. Un rectángulo en cada franja, con la altura tomada en el borde izquierdo, el derecho o el centro, da una suma de Riemann. Unir las alturas con segmentos da la regla del trapecio, y ajustar una parábola en cada par de franjas da la regla de Simpson.
Al crecer n, todas estas sumas tienden al mismo límite: la integral definida ∫ f(x) dx de a a b, que también sale exacta con una primitiva F, como F(b) − F(a). El área bajo el eje cuenta como negativa, por eso aparece en rosa.
La rapidez con que baja el error depende de la regla: al duplicar n, el error de las sumas por la izquierda y la derecha se divide entre 2, el del punto medio y el trapecio entre 4, y el de Simpson entre 16. En escala logarítmica son rectas de pendiente −1, −2 y −4.
- Integral definida∫ f(x) dx de a a b = F(b) − F(a)
- Regla del trapecio½h [y₀ + 2(y₁ + … + yₙ₋₁) + yₙ]
- Regla de Simpson⅓h [y₀ + 4y₁ + 2y₂ + … + 4yₙ₋₁ + yₙ]
En el temario
- Bachillerato Matemáticas IIintegral definida, regla de Barrow, área entre la curva y el eje
- Primer curso de universidadmétodos numéricos, trapecio y Simpson con su orden de error
Reto
Predice primero: con la regla del trapecio en ∫ x² dx de 0 a 2, ¿cuántas veces se reduce el error al pasar de n = 4 a n = 8? ¿Y con Simpson? Escribe tu factor en la casilla y pulsa Duplicar n.
El error del trapecio es h²(b − a)f''/12, así que al dividir h entre 2 el error se divide entre 4: de 1/12 con n = 4 a 1/48 con n = 8. Simpson es exacta para x², así que su error es 0 para cualquier n par. Prueba con x³: Simpson sigue siendo exacta, porque su error depende de la cuarta derivada. Prueba eˣ para ver el factor 16.
Apréndelo bien
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Preguntas frecuentes
¿Cómo se aplica la regla del trapecio?
Elige n franjas de anchura h = (b − a)/n, calcula las alturas y₀ a yₙ en los bordes y entonces área ≈ ½h [y₀ + yₙ + 2(y₁ + y₂ + … + yₙ₋₁)]. Para ∫ x² dx de 0 a 1 con n = 4: h = 0,25, las alturas son 0; 0,0625; 0,25; 0,5625; 1, y la estimación es 0,34375 frente al valor exacto 1/3.
¿La regla del trapecio se pasa o se queda corta?
Si la curva es convexa (f'' > 0), cada segmento queda por encima de la curva y se pasa. Si es cóncava (f'' < 0), se queda corta. La regla del punto medio hace lo contrario, con más o menos la mitad de error.
¿Por qué el área bajo el eje x es negativa?
La integral suma f(x) por la anchura de cada franja, y ahí f(x) es negativa. Para el área real entre la curva y el eje, integra cada parte por separado y suma sus valores absolutos. Las lecturas de Avanzado muestran las dos partes.
¿Por qué Simpson es mucho más precisa?
Ajusta una parábola por cada tres puntos, así que es exacta para todo polinomio de grado 3 o menos, y su error es de unos h⁴(b − a)f''''/180. Al dividir h entre 2, el error se divide entre 16. Necesita un número par de franjas porque cada parábola cubre dos.
¿Qué límite superior b hace que el área bajo y = x² desde 0 hasta b valga 9?
La integral de x² entre 0 y b es b³/3, así que b³/3 = 9, b³ = 27 y b = 3. En Calcular, elige b para un área, pon a = 0 y el objetivo 9. Con curvas como x³ o sin x salen todos los b posibles.