Distribución normal y binomial
La probabilidad es el área sombreada. Mueve los límites, cambia μ y σ (o n y p) y mira cómo las muestras aleatorias forman la misma figura.
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Proporción de muestras en la región
Lecturas
Qué está pasando
Una variable aleatoria continua no tiene probabilidad en un punto, solo en un intervalo, y esa probabilidad es el área bajo la curva de densidad. Una normal queda fijada por su media μ y su desviación típica σ, y toda normal se convierte en la normal estándar si mides en puntuaciones z, z = (x − μ)/σ. Por eso el 95 % de los valores siempre queda a menos de 1,96 desviaciones típicas de la media.
La binomial cuenta éxitos en n ensayos independientes con probabilidad p: sus barras se suman igual. Pulsa Muestrear para sacar valores al azar: el histograma dorado se ajusta a la curva y la proporción que cae en tu región se acerca a la probabilidad. Es la ley de los grandes números.
- Tipificarz = (x − μ) / σ
- Probabilidad normalP(a < X < b) = Φ(zb) − Φ(za)
- Probabilidad binomialP(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
En el temario
- Bachillerato Matemáticas II y CCSSdistribución binomial y normal, tipificación y aproximación de la binomial por la normal
- Primer curso de estadística en la universidad
Reto
Predice primero: ¿qué parte de una normal queda a menos de 2 desviaciones típicas de la media? ¿Y a menos de 1,96? Ajusta a y b, lee el área y luego saca 2000 muestras para ver cuánto se acerca la proporción.
Entre ±2σ el área es 0,9545 y entre ±1,96σ es 0,9500, por eso aparece 1,96 en todos los intervalos de confianza del 95 %. Con 2000 muestras la proporción suele quedar a unas 0,01.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Maths sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
- Averages and rangeStatistics and chartsGratis
- Cumulative frequency, box plots and histogramsStatistics and chartsPlus
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Preguntas frecuentes
¿Cómo calculo la media a partir de una probabilidad normal?
Pasa la probabilidad a una puntuación z con la normal inversa y despeja x = μ + zσ como μ = x − zσ. Si P(X < 60) = 0,9 y σ = 5, z = 1,2816 y μ = 60 − 1,2816 × 5 = 53,59. Calcular la media μ muestra cada paso.
¿Cómo calculo P(a < X < b) en una normal?
Tipifica cada límite con z = (x − μ)/σ, busca Φ(z) para cada uno y réstalos: P(a < X < b) = Φ(zb) − Φ(za). La simulación sombrea esa misma área y da el valor con cuatro decimales.
¿Por qué 1,96 para el 95 %?
Φ(1,96) = 0,975, así que el 2,5 % del área queda por encima de z = 1,96 y, por simetría, otro 2,5 % por debajo de z = −1,96. El 95 % restante queda en medio.
¿Cuándo puedo usar la normal en lugar de la binomial?
Cuando n es grande y p no está cerca de 0 ni de 1, de modo que np y n(1 − p) superan más o menos 5. Usa μ = np, σ² = np(1 − p) y amplía cada límite entero en 0,5 (corrección por continuidad). Activa la aproximación en Avanzado para comparar.
¿Qué hace la normal inversa?
Hace el camino contrario: das una probabilidad p y encuentra el valor b con P(X < b) = p. Por ejemplo, el 2,5 % superior de una normal estándar empieza en z = 1,96.