Loi normale et loi binomiale
La probabilité est l'aire coloriée. Déplace les bornes, change μ et σ (ou n et p), et regarde des tirages aléatoires dessiner la même forme.
Juste le résultat ? Calculatrice de statistiques
Proportion des tirages dans la zone
Mesures
Ce qui se passe
Une variable aléatoire continue n'a pas de probabilité en un point, seulement sur un intervalle, et cette probabilité est l'aire sous la courbe de densité. Une loi normale est fixée par son espérance μ et son écart type σ, et toute loi normale devient la loi normale centrée réduite quand on mesure en z = (x − μ)/σ. C'est pour cela que 95 % des valeurs sont toujours à moins de 1,96 écart type de la moyenne.
La loi binomiale compte les succès sur n épreuves indépendantes de probabilité p : ses barres s'additionnent de la même façon. Appuie sur Tirer pour obtenir des valeurs au hasard : l'histogramme doré se cale sur la courbe et la proportion dans ta zone se rapproche de la probabilité. C'est la loi des grands nombres.
- Centrer et réduirez = (x − μ) / σ
- Probabilité, loi normaleP(a < X < b) = Φ(zb) − Φ(za)
- Probabilité, loi binomialeP(X = k) = C(n, k) pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Au programme
- Lycée spécialité maths, terminaleloi binomiale, loi normale, intervalle de fluctuation
- Première année de licenceprobabilités et statistique
Défi
Prédis d'abord : quelle part d'une loi normale se trouve à moins de 2 écarts types de la moyenne ? Et à moins de 1,96 ? Règle a et b, lis l'aire, puis fais 2000 tirages pour voir à quel point la proportion s'en approche.
Entre ±2σ l'aire vaut 0,9545 et entre ±1,96σ elle vaut 0,9500 : d'où le 1,96 des intervalles de confiance à 95 %. Avec 2000 tirages, la proportion tombe en général à environ 0,01 près.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
- Averages and rangeStatistics and chartsGratuit
- Cumulative frequency, box plots and histogramsStatistics and chartsPlus
Voir tout le coursLe cours complet, les tests par thème et les examens blancs sont inclus dans Plus. Voir Plus
Questions fréquentes
Comment trouver la moyenne à partir d'une probabilité ?
Transforme la probabilité en z avec la loi normale inverse, puis réarrange x = μ + zσ en μ = x − zσ. Si P(X < 60) = 0,9 et σ = 5, z = 1,2816 et μ = 60 − 1,2816 × 5 = 53,59. Calculer l'espérance μ montre chaque étape.
Comment calculer P(a < X < b) pour une loi normale ?
Centre et réduis chaque borne avec z = (x − μ)/σ, cherche Φ(z) pour chacune et soustrais : P(a < X < b) = Φ(zb) − Φ(za). La simulation colorie la même aire et donne la valeur à quatre décimales.
Pourquoi 1,96 pour 95 % ?
Φ(1,96) = 0,975 : 2,5 % de l'aire est au-dessus de z = 1,96 et, par symétrie, 2,5 % en dessous de z = −1,96. Les 95 % restants sont entre les deux.
Quand remplacer une loi binomiale par une loi normale ?
Quand n est grand et p pas trop proche de 0 ou de 1, de sorte que np et n(1 − p) dépassent environ 5. Prends μ = np, σ² = np(1 − p) et élargis chaque borne entière de 0,5 (correction de continuité). Active l'approximation dans Avancé pour comparer.
À quoi sert la loi normale inverse ?
Elle fait le chemin inverse : tu donnes une probabilité p et elle trouve la valeur b telle que P(X < b) = p. Par exemple, les 2,5 % les plus hauts d'une loi normale centrée réduite commencent à z = 1,96.