Komplexe Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene
Jede komplexe Zahl ist ein Punkt und ein Pfeil. Addieren hängt Pfeile aneinander, Multiplizieren multipliziert die Längen und addiert die Winkel.
Messwerte
Was passiert hier
Eine komplexe Zahl z = a + bi ist der Punkt (a, b) in der Gaußschen Zahlenebene, oder ein Pfeil der Länge |z| = √(a² + b²) im Winkel arg z zur positiven reellen Achse. Beim Addieren werden die Pfeile addiert, z + w ist also die gegenüberliegende Ecke eines Parallelogramms. Multiplizieren ist Drehen und Strecken: |zw| = |z||w| und arg zw = arg z + arg w.
Deshalb sind die Dreiecke 0, 1, z und 0, w, zw ähnlich, und deshalb ist Mal-i (Betrag 1, Winkel 90°) eine Vierteldrehung. Dividieren macht es rückgängig. Wiederholtes Multiplizieren liefert den Satz von de Moivre: zⁿ hat den Betrag |z|ⁿ und das Argument n arg z, die Potenzen laufen also spiralförmig nach außen (|z| > 1) oder nach innen (|z| < 1).
Umgekehrt haben die n Wurzeln von z den Betrag |z|1/n und liegen 2π/n auseinander, an den Ecken eines regelmäßigen Vielecks. Für z = 1 sind das die Einheitswurzeln, und ihre Summe ist immer 0. Das Hauptargument ist das im Intervall (−π, π].
- Polarformz = a + bi = r(cos θ + i sin θ) = reiθ
- Multiplikation|zw| = |z||w|, arg zw = arg z + arg w
- Satz von de Moivrezⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
- n-te Wurzelnz1/n = r1/n eiθ/n e2πik/n
Im Lehrplan
- Oberstufe Leistungskurs, wo komplexe Zahlen unterrichtet werdenGaußsche Zahlenebene, Polarform, Potenzen und Wurzeln
- StudiumAnalysis und lineare Algebra im ersten Semester
Challenge
Erst schätzen: z = 1 + i. Welchen Betrag und welches Argument hat z⁸? Rechne mit de Moivre, wähle dann zⁿ, stell n = 8 ein und prüfe.
|z| = √2 und arg z = π/4, also hat z⁸ den Betrag (√2)⁸ = 16 und das Argument 8 × π/4 = 2π, dieselbe Richtung wie 0. Also ist z⁸ = 16, eine reelle Zahl.
Richtig lernen
Lektionen aus GCSE Maths zu diesem Thema: Schritt für Schritt erklärt, dann Prüfungsfragen mit jedes Mal neuen Zahlen. Die Lektionen sind auf Englisch.
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Häufige Fragen
Wie bestimme ich das Argument einer komplexen Zahl?
Zeichne sie in die Zahlenebene und miss den Winkel ab der positiven reellen Achse, gegen den Uhrzeigersinn positiv. arctan(b/a) stimmt nur für a > 0: Für a < 0 addierst oder subtrahierst du π, damit das Hauptargument in (−π, π] liegt.
Warum addieren sich beim Multiplizieren die Argumente?
Schreib z = r(cos α + i sin α) und w = s(cos β + i sin β). Ausmultiplizieren und die Additionstheoreme liefern zw = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)). Die Beträge werden multipliziert, die Winkel addiert.
Was sind Einheitswurzeln?
Die n Lösungen von zⁿ = 1, also e2πik/n für k = 0, 1, ..., n − 1. Sie liegen gleichmäßig verteilt auf dem Einheitskreis, an den Ecken eines regelmäßigen n-Ecks, und für n ≥ 2 ist ihre Summe 0.
Welches Hauptargument hat −1, und welches 0?
−1 liegt auf der negativen reellen Achse, das Hauptargument ist π (nicht −π, weil das Intervall (−π, π] ist). 0 hat gar kein Argument, weil es keine Richtung hat.
Wie berechne ich die dritten Wurzeln einer komplexen Zahl?
Schreib sie in Polarform und wende Moivre rückwärts an. Für 8i: |8i| = 8 und arg 8i = π/2, also hat jede Wurzel den Betrag 81/3 = 2 und die Argumente π/6, 5π/6 und −π/2 (jeweils 2π/3 weiter). Die Wurzeln sind √3 + i, −√3 + i und −2i. Wähle n-te Wurzeln unter Berechnen, um alle mit Rechenweg zu sehen.