Nombres complexes dans le plan
Chaque nombre complexe est un point et une flèche. Additionner met les flèches bout à bout ; multiplier multiplie les longueurs et ajoute les angles.
Mesures
Ce qui se passe
Un nombre complexe z = a + bi est le point (a, b) du plan complexe, ou une flèche de longueur |z| = √(a² + b²) qui fait l'angle arg z avec l'axe réel positif. Additionner des complexes additionne les flèches : z + w est le sommet opposé d'un parallélogramme. Multiplier, c'est tourner et agrandir : |zw| = |z||w| et arg zw = arg z + arg w.
C'est pour cela que les triangles 0, 1, z et 0, w, zw sont semblables, et que multiplier par i (module 1, angle 90°) fait un quart de tour. Diviser défait tout cela. En répétant la multiplication on obtient la formule de Moivre : zⁿ a pour module |z|ⁿ et pour argument n arg z, donc les puissances tournent en spirale vers l'extérieur (|z| > 1) ou vers l'intérieur (|z| < 1).
Dans l'autre sens, les n racines n-ièmes de z ont le module |z|1/n et sont espacées de 2π/n : ce sont les sommets d'un polygone régulier. Pour z = 1 ce sont les racines de l'unité, dont la somme est toujours 0. L'argument principal est celui de l'intervalle ]−π, π].
- Forme trigonométrique et exponentiellez = a + bi = r(cos θ + i sin θ) = reiθ
- Produit|zw| = |z||w|, arg zw = arg z + arg w
- Formule de Moivrezⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
- Racines n-ièmesz1/n = r1/n eiθ/n e2πik/n
Au programme
- Terminale, maths expertesforme algébrique, module et argument, forme exponentielle, racines n-ièmes de l'unité
- Licence 1nombres complexes et géométrie
Défi
Prédis d'abord : z = 1 + i. Quels sont le module et l'argument de z⁸ ? Utilise la formule de Moivre, puis choisis zⁿ, règle n = 8 et vérifie.
|z| = √2 et arg z = π/4, donc z⁸ a pour module (√2)⁸ = 16 et pour argument 8 × π/4 = 2π, la même direction que 0. Donc z⁸ = 16, un réel.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
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Questions fréquentes
Comment trouver l'argument d'un nombre complexe ?
Place-le dans le plan et mesure l'angle depuis l'axe réel positif, dans le sens direct. arctan(b/a) ne donne la bonne réponse que si a > 0 : si a < 0, ajoute ou retranche π pour que l'argument principal tombe dans ]−π, π].
Pourquoi les arguments s'ajoutent-ils dans un produit ?
Écris z = r(cos α + i sin α) et w = s(cos β + i sin β). En développant et en utilisant les formules d'addition, zw = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)). Les modules se multiplient, les angles s'ajoutent.
Que sont les racines de l'unité ?
Les n solutions de zⁿ = 1 : e2iπk/n pour k = 0, 1, ..., n − 1. Elles sont régulièrement réparties sur le cercle unité, aux sommets d'un polygone régulier à n côtés, et pour n ≥ 2 leur somme vaut 0.
Quel est l'argument principal de −1, et de 0 ?
−1 est sur l'axe réel négatif, donc son argument principal est π (et pas −π, car l'intervalle est ]−π, π]). 0 n'a pas d'argument : il n'a pas de direction.
Comment trouver les racines cubiques d'un nombre complexe ?
Écris-le sous forme trigonométrique et applique Moivre à l'envers. Pour 8i : |8i| = 8 et arg 8i = π/2, donc chaque racine a pour module 81/3 = 2 et pour arguments π/6, 5π/6 et −π/2 (on ajoute 2π/3 à chaque fois). Les racines sont √3 + i, −√3 + i et −2i. Choisis Racines n-ièmes dans Calculer pour les obtenir toutes avec les calculs.