Matrices et transformations du plan
Une matrice 2×2 déplace tous les points du plan. Ses colonnes sont les images de i et j, son déterminant dit comment les aires changent, et ses vecteurs propres sont les droites qui ne tournent pas.
Mesures
Ce qui se passe
Une matrice 2×2 M envoie chaque point (x, y) sur M(x, y), et comme l'application est linéaire, il suffit de savoir où vont les deux vecteurs de base : la première colonne de M est l'image de i et la seconde celle de j. Le quadrillage suit, les carrés deviennent des parallélogrammes, et l'aire de toute figure est multipliée par |det M|. Un déterminant négatif signifie que le plan a été retourné (regarde le F), et un déterminant nul écrase tout sur une droite ou un point : il n'y a pas d'inverse.
Un vecteur propre v est une direction que la matrice ne fait pas tourner : Mv = λv, donc la droite passant par l'origine dirigée par v est une droite invariante, étirée par la valeur propre λ. Quand λ = 1, chaque point y reste exactement à sa place : c'est une droite de points fixes.
Les rotations d'angle autre que 0° ou 180° ont des valeurs propres complexes et aucune droite invariante passant par l'origine. Faire B puis A revient à la matrice AB, qui en général n'est pas BA.
- Image d'un pointM(x, y) = x(Mi) + y(Mj)
- Facteur d'échelle des airesaire de l'image = |det M| × aire
- Déterminantdet M = ad − bc
- Valeurs propresMv = λv, λ² − (a + d)λ + det M = 0
Au programme
- Terminale, maths expertesmatrices, puissances et transformations
- Licence 1 et 2applications linéaires, déterminant, valeurs propres et vecteurs propres
Défi
Prédis d'abord : la transvection M = (1 2 ; 0 1). Quel est son déterminant, et quelle droite est formée de points fixes ? Choisis Transvection, règle k = 2 et regarde les mesures et la droite dorée.
det M = 1 × 1 − 2 × 0 = 1 : les aires ne changent pas, même si le carré penche. La seule valeur propre est 1, de vecteur propre (1, 0), donc l'axe des x (y = 0) est une droite de points fixes. Chaque droite horizontale est aussi envoyée sur elle-même, mais ses points glissent.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
- Translations and reflectionsTransformations, congruence and similarityGratuit
- Rotations and enlargementsTransformations, congruence and similarityGratuit
- Combined transformations and negative scale factorsTransformations, congruence and similarityPlus
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Questions fréquentes
Comment trouver la matrice d'une transformation ?
Cherche où vont les vecteurs de base. L'image de i = (1, 0) est la première colonne, celle de j = (0, 1) la seconde. Une rotation d'angle θ envoie i sur (cos θ, sin θ) et j sur (−sin θ, cos θ), d'où la matrice (cos θ −sin θ ; sin θ cos θ).
Que dit le déterminant ?
|det M| est le facteur d'échelle des aires. Le signe donne l'orientation : positif, elle est conservée ; négatif, elle est renversée ; nul, le plan est écrasé sur une droite ou un point et la matrice n'est pas inversible.
Quelle différence entre droite invariante et droite de points fixes ?
Sur une droite de points fixes, chaque point reste en place (valeur propre 1). Une droite invariante est envoyée sur elle-même dans son ensemble, mais ses points peuvent glisser le long d'elle. Celles qui passent par l'origine sont dirigées par des vecteurs propres.
Pourquoi AB n'est-il pas égal à BA ?
AB veut dire : B d'abord, puis A. Tourner puis faire une symétrie n'amène en général pas la figure au même endroit que l'inverse, donc les produits diffèrent. Active la composition dans Avancé et change l'ordre.
Comment trouver la matrice qui envoie deux points sur leurs images ?
Mets les points dans les colonnes de P et leurs images dans celles de Q : M = QP⁻¹. Si (1 ; 1) a pour image (3 ; 1) et (1 ; −1) a pour image (1 ; 3), alors P = (1 1 ; 1 −1), det P = −2 et M = (2 1 ; 2 −1). Cela ne marche que si les deux points ne sont pas alignés avec l'origine. Matrice à partir de deux points, dans Calculer, montre chaque étape.