Matrices como transformaciones
Una matriz 2×2 mueve todos los puntos del plano. Sus columnas son las imágenes de i y j, su determinante dice cómo cambian las áreas y sus autovectores son las rectas que no giran.
Lecturas
Qué está pasando
Una matriz 2×2 M lleva cada punto (x, y) a M(x, y), y como la aplicación es lineal basta con saber adónde van los dos vectores unitarios: la primera columna de M es la imagen de i y la segunda la de j. La cuadrícula las sigue, los cuadrados se vuelven paralelogramos y el área de cualquier figura queda multiplicada por |det M|. Un determinante negativo indica que el plano se ha dado la vuelta (fíjate en la F), y un determinante 0 aplasta todo sobre una recta o un punto, así que no hay inversa.
Un autovector v es una dirección que la matriz no gira: Mv = λv, de modo que la recta por el origen en la dirección de v es una recta invariante, estirada por el autovalor λ. Si λ = 1 cada punto se queda exactamente donde está: es una recta de puntos fijos.
Los giros distintos de 0° y 180° tienen autovalores complejos y ninguna recta invariante por el origen. Hacer B y luego A es la matriz AB, que casi nunca coincide con BA.
- Imagen de un puntoM(x, y) = x(Mi) + y(Mj)
- Factor de escala del áreaárea de la imagen = |det M| × área
- Determinantedet M = ad − bc
- Valores propiosMv = λv, λ² − (a + d)λ + det M = 0
En el temario
- Bachillerato Matemáticas IImatrices y determinantes
- Primer curso de universidad álgebra linealaplicaciones lineales, autovalores y autovectores
Reto
Predice primero: la cizalla M = (1 2 ; 0 1). ¿Cuál es su determinante y qué recta está formada por puntos fijos? Elige Cizalla, pon k = 2 y mira las lecturas y la recta dorada.
det M = 1 × 1 − 2 × 0 = 1, así que las áreas no cambian aunque el cuadrado se incline. El único autovalor es 1 con autovector (1, 0), así que el eje x (y = 0) es una recta de puntos fijos. Cada recta horizontal también va a sí misma, pero sus puntos se deslizan.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Maths sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
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- Rotations and enlargementsTransformations, congruence and similarityGratis
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Preguntas frecuentes
¿Cómo encuentro la matriz de una transformación?
Mira adónde van los vectores unitarios. La imagen de i = (1, 0) es la primera columna y la de j = (0, 1) la segunda. Un giro de ángulo θ en sentido antihorario lleva i a (cos θ, sen θ) y j a (−sen θ, cos θ), así que su matriz es (cos θ −sen θ ; sen θ cos θ).
¿Qué indica el determinante?
|det M| es el factor de escala de las áreas. El signo habla de la orientación: positivo la conserva, negativo la invierte, y 0 significa que el plano se aplasta sobre una recta o un punto y la matriz no tiene inversa.
¿Qué diferencia hay entre una recta invariante y una recta de puntos fijos?
En una recta de puntos fijos cada punto se queda en su sitio (autovalor 1). Una recta invariante va a sí misma como conjunto, pero sus puntos pueden moverse por ella. Las que pasan por el origen, de ambos tipos, van en la dirección de un autovector.
¿Por qué AB no es igual a BA?
AB significa hacer primero B y luego A. Girar y luego reflejar suele llevar la figura a otro sitio que reflejar y luego girar, así que los productos son distintos. Activa la composición en Avanzado y cambia el orden.
¿Cómo se halla la matriz que lleva dos puntos a sus imágenes?
Pon los puntos en las columnas de P y sus imágenes en las de Q; entonces M = QP⁻¹. Si (1, 1) va a (3, 1) y (1, −1) va a (1, 3), entonces P = (1 1 ; 1 −1), det P = −2 y M = (2 1 ; 2 −1). Solo funciona si los dos puntos no están en una misma recta por el origen. Matriz desde dos puntos, en Calcular, muestra cada paso.