Series de Taylor y de Maclaurin
Un polinomio de Taylor copia el valor de una función y sus n primeras derivadas en un punto. Con más términos se pega a la curva cada vez más lejos, pero solo hasta el radio de convergencia.
Error en x₀ frente al grado n (escala logarítmica)
Lecturas
Qué está pasando
Cerca de x = a una función suave se parece a su recta tangente, y todavía más a un polinomio que coincide con su valor y sus n primeras derivadas en ese punto: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!. Desarrollar en a = 0 da la serie de Maclaurin. Para eˣ, sen x y cos x los polinomios mejoran en todas partes al crecer n, porque el k! del denominador acaba ganando a cualquier potencia de x.
Para ln(1 + x), 1/(1 − x), √(1 + x) y arctg x solo mejoran dentro del intervalo de convergencia, a distancia R de a; fuera de él el error crece con n por muchos términos que sumes. R es la distancia de a al punto más cercano donde la función falla, y en arctg ese punto ni siquiera es real: es ±i, donde 1/(1 + x²) se dispara. La forma de Lagrange del resto acota el error sin conocer la respuesta: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, donde M es el mayor valor de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a y x.
- Polinomio de TaylorPₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ / k!
- Serie de la exponencialeˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
- Serie del logaritmoln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ..., −1 < x ≤ 1
- Cota del resto|Rₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹ / (n + 1)!
En el temario
- Primer curso de universidad Cálculofórmula de Taylor, resto de Lagrange y radio de convergencia
- En Bachillerato se ve la recta tangente, que es el polinomio de grado 1
Reto
Predice primero: con f = sen x en a = 0, ¿qué grado n hace falta para que Pₙ(3) quede a menos de 0,001 de sen 3? Usa la cota de Lagrange 3ⁿ⁺¹/(n + 1)!, luego pon x₀ = 3 y sube n.
La cota 3ⁿ⁺¹/(n + 1)! baja de 0,001 por primera vez en n = 12 (en n = 11 vale 3¹²/12! ≈ 0,00111). Para sen x, P₁₂ = P₁₁ porque el término en x¹² es 0, así que basta n = 11. Los errores reales lo confirman: P₉(3) aún falla por 0,0042 y P₁₁(3) por 0,00025.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Maths sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
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Preguntas frecuentes
¿Qué diferencia hay entre una serie de Taylor y una de Maclaurin?
Ninguna de fondo: la de Maclaurin es la serie de Taylor desarrollada en a = 0. La de Taylor en a usa potencias de (x − a) y las derivadas en a.
¿Por qué la serie de ln(1 + x) solo vale para −1 < x ≤ 1?
ln(1 + x) no está definido en x = −1 y una serie de potencias en 0 converge en un disco que no puede contener ese punto, así que el radio es 1. En x = 1 queda 1 − 1/2 + 1/3 − ..., que converge (a ln 2); en x = −1 es la serie armónica cambiada de signo, que diverge.
¿Por qué arctg x tiene radio 1 si está definida en todo R?
Su derivada 1/(1 + x²) se dispara en los complejos x = ±i, a distancia 1 de 0. Una serie de potencias converge en un disco del plano complejo, y ese disco se detiene en el problema más cercano aunque no esté en la recta real.
¿Cómo se usa el resto de Lagrange?
Calcula la derivada (n + 1)-ésima, acota su valor absoluto por M entre a y x, y entonces |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!. Para sen x siempre sirve M = 1.
¿Cuántos términos de una serie de Taylor necesito para una precisión dada?
Usa el resto de Lagrange |Rₙ| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| |x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! y busca el primer n que lo haga bastante pequeño. Para eˣ en 0, en x = 1, con error menor que 0,0001: n = 6 da e/7! = 0,00054, demasiado, y n = 7 da e/8! = 0,000067, así que n = 7. n mínimo para una precisión, en Calcular, hace esta búsqueda.