Series de Fourier
Cualquier onda periódica se puede construir sumando senos y cosenos de frecuencias múltiplo de una dada. Añade armónicos y mira cómo la suma se acerca a la onda, en todas partes salvo junto a un salto.
Espectro: amplitud de cada armónico
Lecturas
Qué está pasando
Una onda de periodo 2π se puede escribir como una constante más armónicos: f(t) ≈ a₀/2 + Σ (aₙ cos nt + bₙ sen nt). Cada coeficiente mide cuánto de ese armónico contiene la onda, y se obtiene multiplicando por cos nt o sen nt y promediando en un periodo, porque armónicos distintos se anulan en promedio entre sí. La simetría ahorra trabajo: una onda impar solo necesita senos, una par solo cosenos, y una con f(t + π) = −f(t) solo armónicos impares.
Las ondas suaves tienen coeficientes que bajan rápido (1/n² en la triangular) y la suma encaja enseguida; las que tienen un salto bajan como 1/n y la suma oscila. Justo al lado de un salto la suma parcial siempre se pasa un 8,95 % del salto, por muchos términos que tomes: es el fenómeno de Gibbs.
El pico se estrecha, así que el error cuadrático medio sí tiende a 0, y el teorema de Parseval da ese error directamente a partir de los coeficientes. Pulsa Iniciar para ver cada armónico como una flecha que gira: las flechas se encadenan y la altura de la última punta dibuja la suma.
- Serie de Fourierf(t) ≈ a₀/2 + Σ (aₙ cos nt + bₙ sen nt)
- Coeficientes de Fourieraₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt, bₙ = (1/π)∫ f(t) sen nt dt
- Onda cuadrada(4/π)(sen t + sen 3t/3 + sen 5t/5 + ...)
- Error eficazerror eficaz² = media de f² − (a₀/2)² − ½Σ(aₙ² + bₙ²)
En el temario
- Primer curso de universidad matemáticas, física e ingenieríaseries de Fourier, funciones pares e impares, convergencia, fenómeno de Gibbs y teorema de Parseval
Reto
Predice primero: al crecer N, ¿el sobrepico de la onda cuadrada junto al salto tiende a 0? Estima su tamaño con N = 99 como porcentaje del salto, escríbelo y luego activa el zoom en Avanzado y sube N.
No. El sobrepico se estrecha y se acerca al salto, pero su altura se queda en torno al 8,95 % del salto (0,179 por encima del valor 1, porque el salto es 2). Con N = 99 vale 8,95 % con dos decimales. El error cuadrático medio sí tiende a 0, porque el pico es cada vez más fino.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Maths sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
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Preguntas frecuentes
¿Cómo se calculan los coeficientes de Fourier?
Con periodo 2π, aₙ = (1/π)∫ f(t) cos nt dt y bₙ = (1/π)∫ f(t) sen nt dt sobre un periodo, y a₀/2 es el valor medio de f. Para la onda cuadrada (−1 y luego 1) sale bₙ = 4/(nπ) para n impar y 0 en todos los demás coeficientes.
¿Por qué una función impar solo tiene senos?
Si f(−t) = −f(t), entonces f(t) cos nt también es impar, y una función impar integra 0 en un periodo simétrico, así que todos los aₙ valen 0. Del mismo modo, en una función par todos los bₙ valen 0.
¿Qué es el fenómeno de Gibbs?
Junto a un salto, la suma parcial de Fourier se pasa de la onda en torno a un 8,95 % del salto, y añadir términos no lo elimina: el pico solo se estrecha y se acerca al salto. El límite exacto del pico es (2/π)Si(π) ≈ 1,179 para un salto de −1 a 1.
¿Qué dice el teorema de Parseval?
La media de f² es igual a (a₀/2)² + ½Σ(aₙ² + bₙ²). Así, la energía que deja fuera una suma parcial, y con ella el error cuadrático medio, sale directamente de los coeficientes que faltan.
¿Cuántos armónicos necesito para un error RMS dado?
Usa Parseval: el error cuadrático medio tras N armónicos es la media de f² menos (a₀/2)² menos la mitad de la suma de aₙ² + bₙ² que conservas. Para la onda cuadrada la media de f² es 1 y cada armónico impar quita 8/(π²n²). El error RMS vale 0,1006 en N = 39 y baja de 0,1 por primera vez en N = 41 (0,0982). N para un error RMS, en Calcular, hace la suma.