Séries de Taylor et de Maclaurin
Un polynôme de Taylor recopie la valeur d'une fonction et ses n premières dérivées en un point. Avec plus de termes il colle à la courbe plus loin, mais seulement jusqu'au rayon de convergence.
Erreur en x₀ selon le degré n (échelle log)
Mesures
Ce qui se passe
Près de x = a, une fonction régulière ressemble à sa tangente, et encore plus à un polynôme qui a la même valeur et les mêmes n premières dérivées en ce point : Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!. Le développement en a = 0 s'appelle série de Maclaurin. Pour eˣ, sin x et cos x les polynômes s'améliorent partout quand n grandit, car le k! du dénominateur finit par battre toute puissance de x.
Pour ln(1 + x), 1/(1 − x), √(1 + x) et arctan x, ils ne s'améliorent qu'à l'intérieur de l'intervalle de convergence, à distance R de a ; en dehors, l'erreur grandit avec n, quel que soit le nombre de termes. R est la distance de a au point le plus proche où la fonction cesse d'être sage, et pour arctan ce point n'est même pas réel : c'est ±i, où 1/(1 + x²) explose. Le reste de Lagrange majore l'erreur sans connaître la réponse : |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, où M est le maximum de |f⁽ⁿ⁺¹⁾| entre a et x.
- Polynôme de TaylorPₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ / k!
- Développement de l'exponentielleeˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...
- Développement du logarithmeln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − ..., −1 < x ≤ 1
- Majoration du reste|Rₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹ / (n + 1)!
Au programme
- Licence 1 et 2formule de Taylor-Lagrange, développements limités, séries entières et rayon de convergence
- En terminale, la tangente est le polynôme de degré 1
Défi
Prédis d'abord : avec f = sin x en a = 0, quel degré n faut-il pour que Pₙ(3) soit à moins de 0,001 de sin 3 ? Utilise la majoration de Lagrange 3ⁿ⁺¹/(n + 1)!, puis règle x₀ = 3 et monte n.
La majoration 3ⁿ⁺¹/(n + 1)! passe sous 0,001 pour la première fois en n = 12 (en n = 11 elle vaut 3¹²/12! ≈ 0,00111). Pour sin x, P₁₂ = P₁₁ car le terme en x¹² est nul, donc n = 11 suffit. Les erreurs réelles le confirment : P₉(3) est encore à 0,0042, et P₁₁(3) à 0,00025.
Apprends-le pour de bon
Des leçons de GCSE Maths sur ce sujet : des étapes détaillées, puis des questions type examen avec de nouveaux nombres à chaque fois. Les leçons sont en anglais.
Voir tout le coursLe cours complet, les tests par thème et les examens blancs sont inclus dans Plus. Voir Plus
Questions fréquentes
Quelle différence entre série de Taylor et série de Maclaurin ?
Aucune sur le fond : la série de Maclaurin est la série de Taylor en a = 0. En a quelconque, on utilise les puissances de (x − a) et les dérivées en a.
Pourquoi la série de ln(1 + x) ne marche-t-elle que pour −1 < x ≤ 1 ?
ln(1 + x) n'est pas défini en x = −1, et une série entière en 0 converge sur un disque qui ne peut pas contenir ce point : le rayon vaut 1. En x = 1 on obtient 1 − 1/2 + 1/3 − ..., qui converge (vers ln 2) ; en x = −1, c'est l'opposé de la série harmonique, qui diverge.
Pourquoi arctan x a-t-elle un rayon 1 alors qu'elle est définie partout ?
Sa dérivée 1/(1 + x²) explose aux complexes x = ±i, à distance 1 de 0. Une série entière converge sur un disque du plan complexe, et ce disque s'arrête au problème le plus proche, même s'il n'est pas sur la droite réelle.
Comment utiliser le reste de Lagrange ?
Calcule la dérivée (n + 1)-ième, majore sa valeur absolue par M entre a et x, et alors |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!. Pour sin x, M = 1 convient toujours.
Combien de termes d'une série de Taylor faut-il pour une précision donnée ?
Utilise le reste de Lagrange |Rₙ| ≤ max|f⁽ⁿ⁺¹⁾| |x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)! et cherche le premier n qui le rend assez petit. Pour eˣ en 0, en x = 1, avec une erreur sous 0,0001 : n = 6 donne e/7! = 0,00054, trop grand, et n = 7 donne e/8! = 0,000067, donc n = 7. Plus petit n pour une précision, dans Calculer, fait cette recherche.