Números complejos en el diagrama de Argand
Cada número complejo es un punto y una flecha. Sumar encadena flechas; multiplicar multiplica las longitudes y suma los ángulos.
Lecturas
Qué está pasando
Un número complejo z = a + bi es el punto (a, b) del diagrama de Argand, o una flecha de longitud |z| = √(a² + b²) que forma el ángulo arg z con el semieje real positivo. Sumar complejos suma las flechas, así que z + w es el vértice opuesto de un paralelogramo. Multiplicar es girar y escalar: |zw| = |z||w| y arg zw = arg z + arg w, por eso el triángulo 0, 1, z y el triángulo 0, w, zw son semejantes, y por eso multiplicar por i (módulo 1, ángulo 90°) es un cuarto de vuelta.
Dividir lo deshace. Repetir la multiplicación da la fórmula de De Moivre: zⁿ tiene módulo |z|ⁿ y argumento n arg z, así que las potencias forman una espiral hacia fuera (|z| > 1) o hacia dentro (|z| < 1).
Al revés, las n raíces de z tienen módulo |z|1/n y están separadas 2π/n, en los vértices de un polígono regular; para z = 1 son las raíces de la unidad y siempre suman 0. El argumento principal es el que está en (−π, π].
- Forma módulo-argumentoz = a + bi = r(cos θ + i sen θ) = reiθ
- Producto|zw| = |z||w|, arg zw = arg z + arg w
- Teorema de De Moivrezⁿ = rⁿ(cos nθ + i sen nθ)
- Raíces n-ésimasz1/n = r1/n eiθ/n e2πik/n
En el temario
- Bachillerato Matemáticas Inúmeros complejos en forma binómica y polar, potencias y raíces
- Primer curso de universidadvariable compleja
Reto
Predice primero: z = 1 + i. ¿Qué módulo y argumento tiene z⁸? Usa De Moivre, luego elige zⁿ, pon n = 8 y compruébalo.
|z| = √2 y arg z = π/4, así que z⁸ tiene módulo (√2)⁸ = 16 y argumento 8 × π/4 = 2π, la misma dirección que 0. Por tanto z⁸ = 16, un número real.
Apréndelo bien
Lecciones de GCSE Maths sobre este tema: pasos resueltos y después preguntas tipo examen con números nuevos cada vez. Las lecciones están en inglés.
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Preguntas frecuentes
¿Cómo se calcula el argumento de un complejo?
Dibújalo en el diagrama de Argand y mide el ángulo desde el semieje real positivo, en sentido antihorario. arctg(b/a) solo acierta en el primer y cuarto cuadrante: en el segundo suma π y en el tercero resta π, para que el argumento principal quede en (−π, π].
¿Por qué al multiplicar se suman los argumentos?
Escribe z = r(cos α + i sen α) y w = s(cos β + i sen β). Al multiplicar y usar las fórmulas de la suma queda zw = rs(cos(α + β) + i sen(α + β)). Los módulos se multiplican y los ángulos se suman.
¿Qué son las raíces de la unidad?
Las n soluciones de zⁿ = 1. Son e2πik/n con k = 0, 1, ..., n − 1, repartidas por igual en la circunferencia unidad como vértices de un polígono regular de n lados, y para n ≥ 2 suman 0.
¿Cuál es el argumento principal de −1? ¿Y el de 0?
−1 está en el semieje real negativo, así que su argumento principal es π (no −π, porque el intervalo es (−π, π]). 0 no tiene argumento, porque no tiene dirección.
¿Cómo se calculan las raíces cúbicas de un número complejo?
Escríbelo en forma módulo-argumento y aplica De Moivre al revés. Para 8i: |8i| = 8 y arg 8i = π/2, así que cada raíz tiene módulo 81/3 = 2 y argumentos π/6, 5π/6 y −π/2 (sumando 2π/3 cada vez). Las raíces son √3 + i, −√3 + i y −2i. Elige Raíces n-ésimas en Calcular para ver todas con el desarrollo.