Gleichungslöser

Formeln

• Mitternachtsformel x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a
• Diskriminante b² − 4ac: zwei Lösungen, wenn sie positiv ist, eine bei 0, keine reelle Lösung, wenn sie negativ ist
• Lineare Gleichung ax + b = c ergibt x = (c − b) / a

Rechenbeispiel

Löse 2x² − 3x − 5 = 0.

1. a = 2, b = −3 und c = −5.
2. Diskriminante: (−3)² − 4 × 2 × (−5) = 9 + 40 = 49.
3. √49 = 7, also x = (3 ± 7) / 4.
4. x = 10/4 = 5/2 oder x = −4/4 = −1.

Ergebnis: x = 5/2 (2,5) oder x = −1.

Häufige Fehler

• Das Vorzeichen von b verlieren: Bei b = −3 ist −b gleich +3 und b² gleich +9, nie −9.
• Am Ende der Mitternachtsformel durch 2 statt durch 2a teilen.
• a, b und c ablesen, bevor die Gleichung gleich 0 ist: x² = 5x − 6 muss erst zu x² − 5x + 6 = 0 werden.
• Bei x² = 3x auf beiden Seiten durch x teilen, dann geht die Lösung x = 0 verloren. Klammere lieber aus: x(x − 3) = 0.

Über dieses Tool

Dieser Rechner löst die drei Arten von Gleichungen, die in Mathe am häufigsten vorkommen: lineare Gleichungen, quadratische Gleichungen und lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten. Du bekommst nicht nur das Ergebnis, sondern den Rechenweg, von der Diskriminante und der Mitternachtsformel bis zu jedem Schritt des Additionsverfahrens. Lösungen erscheinen, wo möglich, als exakte Brüche mit Dezimalwert daneben. Er löst auch lineare und quadratische Ungleichungen mit Zahlenstrahl und kann Terme ausmultiplizieren, faktorisieren und vereinfachen, Schritt für Schritt.

Tipps

• Ist a = 1, kennst du das Ganze vielleicht als p-q-Formel. Mitternachtsformel und p-q-Formel liefern dieselben Lösungen, der Rechner arbeitet mit a, b und c.
• Sind die Lösungen rational, siehst du auch die faktorisierte Form, etwa (x - 2)(x - 3) für x² - 5x + 6. Der Scheitelpunkt liegt bei x = -b / 2a, genau in der Mitte zwischen den Nullstellen.
• Ergibt das Gleichungssystem zwei parallele Geraden, gibt es keine Lösung. Ist es zweimal dieselbe Gerade, gibt es unendlich viele. Beides sind gültige Antworten, keine Fehler.

Häufige Fragen

Was, wenn meine Gleichung keine Lösung hat?

Der lineare Modus sagt dir, wenn es keine Lösung gibt (zum Beispiel bei x + 1 = x + 2) oder wenn jedes x passt. Er meldet auch, wenn die Gleichung nicht linear ist, etwa weil x² vorkommt, damit du in den quadratischen Modus wechseln kannst.

Was passiert bei a = 0?

Dann fehlt das x², es ist also keine quadratische Gleichung. Der Rechner behandelt sie als lineare Gleichung bx + c = 0 und löst diese.

Warum stehen da Brüche?

Weil in Klassenarbeiten meist das exakte Ergebnis gefragt ist. Ein Bruch wie 2/3 ist exakt, 0,6667 dagegen gerundet. Der Rechner zeigt beides, damit du nehmen kannst, was die Aufgabe verlangt.