Statistik-Rechner

Formeln

• Mittelwert x̄ = Σx / n
• Standardabweichung der Grundgesamtheit σ = √(Σ(x − x̄)² / n)
• Standardabweichung der Stichprobe s = √(Σ(x − x̄)² / (n − 1))
• Interquartilsabstand IQR = Q3 − Q1. Ausreißer liegen mehr als 1,5 × IQR unter Q1 oder über Q3.

Rechenbeispiel

Bestimme Mittelwert, Median, Modus und Standardabweichung von 2; 4; 4; 4; 5; 5; 7; 9.

1. n = 8 und Σx = 40, der Mittelwert ist also 40 / 8 = 5.
2. Die Daten sind schon sortiert. Die beiden mittleren Werte sind 4 und 5, der Median ist also 4,5.
3. Die 4 kommt dreimal vor, der Modus ist also 4.
4. Die quadrierten Abweichungen vom Mittelwert sind 9; 1; 1; 1; 0; 0; 4 und 16, zusammen 32.
5. Standardabweichung der Grundgesamtheit = √(32 / 8) = 2. Standardabweichung der Stichprobe = √(32 / 7) ≈ 2,14.

Ergebnis: Mittelwert 5, Median 4,5, Modus 4, Standardabweichung 2 (Grundgesamtheit) oder 2,14 (Stichprobe).

Häufige Fehler

• Den Median bestimmen, bevor die Daten sortiert sind.
• Die Formel für die Grundgesamtheit bei einer Stichprobe nehmen oder umgekehrt: Prüf, was die Aufgabe meint.
• Den Wert an Position n / 2 als Median nehmen: Er steht an Position (n + 1) / 2.
• Vergessen, dass ein einziger Ausreißer den Mittelwert stark verschieben kann, während sich der Median kaum bewegt.

Über dieses Tool

Füge eine Zahlenliste ein, und dieser Statistik-Rechner bestimmt Anzahl, Summe, Mittelwert, Median, Modus, Spannweite, Minimum, Maximum, unteres und oberes Quartil und den Interquartilsabstand, dazu Standardabweichung und Varianz für Grundgesamtheit und Stichprobe. Er zeichnet einen Boxplot mit markierten Ausreißern (mehr als 1,5 × IQR unter Q1 oder über Q3) und ein Punktdiagramm aller Werte und zeigt den Rechenweg für Mittelwert, Median und Standardabweichung Schritt für Schritt.

Tipps

• Sind die Werte geordnet, steht der Median an Position (n + 1) / 2. Bei gerader Anzahl liegt er genau zwischen den beiden mittleren Werten.
• Ein Ausreißer zieht den Mittelwert zu sich, verschiebt den Median aber kaum. Bei schiefen Daten ist der Median deshalb aussagekräftiger.
• Schulbücher bestimmen Quartile nicht alle gleich. Wenn dein Ergebnis knapp daneben liegt, wechsle die Quartilsmethode.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen Standardabweichung der Grundgesamtheit und der Stichprobe?

Beide messen, wie stark die Daten streuen. Die der Grundgesamtheit teilt durch n. Die der Stichprobe teilt durch n − 1, ist dadurch etwas größer und schätzt die Streuung der ganzen Grundgesamtheit aus einer Stichprobe besser.

Wie werden die Quartile bestimmt?

Die Werte werden geordnet und in eine untere und eine obere Hälfte geteilt. Q1 ist der Median der unteren, Q3 der Median der oberen Hälfte. Bei ungerader Anzahl kann der Median zu beiden Hälften zählen oder zu keiner; du kannst wählen.

Woran erkennt der Rechner einen Ausreißer?

Jeder Wert unter Q1 − 1,5 × IQR oder über Q3 + 1,5 × IQR ist ein Ausreißer. Er erscheint als eigener Punkt im Boxplot, und die Antennen enden beim äußersten Wert, der kein Ausreißer ist.