Círculo unitario

Fórmulas

• Punto de la circunferencia (cos θ, sen θ)
• Tangente tg θ = sen θ / cos θ
• Identidad fundamental sen²θ + cos²θ = 1
• De grados a radianes multiplica por π / 180

Ejemplo resuelto

Halla los valores exactos del seno, el coseno y la tangente de 150°.

1. 150° está en el segundo cuadrante, donde el seno es positivo y el coseno negativo.
2. El ángulo de referencia es 180° − 150° = 30°.
3. sen 30° = 1/2 y cos 30° = √3/2.
4. Así que sen 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2 y tg 150° = (1/2) / (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.

Resultado: sen 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2, tg 150° = −√3/3.

Errores frecuentes

• Dar al coseno signo positivo en el segundo cuadrante: ahí solo el seno es positivo.
• Confundir seno y coseno: x es cos θ e y es sen θ.
• Dar un valor para tg 90°: no está definida, porque cos 90° = 0.
• Olvidar qué unidad usa el enunciado: 150° son 5π/6 radianes.

Sobre esta herramienta

El círculo unitario (o circunferencia goniométrica) tiene radio 1 y centro en el origen. Para cualquier ángulo θ, medido en sentido antihorario desde el semieje x positivo, el punto de la circunferencia es (cos θ, sen θ), y tg θ = sen θ / cos θ. Arrastra el punto y verás el ángulo en grados y radianes, el triángulo rectángulo, los valores exactos de seno, coseno y tangente en los ángulos notables (como √3/2 en 30° y 60°) y las gráficas del seno y el coseno dibujándose a la vez.

Consejos

• En el primer cuadrante todo es positivo; en el segundo, solo el seno; en el tercero, solo la tangente; en el cuarto, solo el coseno.
• Para pasar de grados a radianes, multiplica por π/180. Así, 30° = π/6 y 135° = 3π/4.
• La tangente no está definida en 90° ni en 270° porque ahí el coseno vale 0, y no se puede dividir entre 0.

Preguntas frecuentes

¿Por qué el punto está en (cos θ, sen θ)?

El radio es la hipotenusa del triángulo rectángulo y mide 1. El cateto horizontal mide 1 × cos θ y el vertical 1 × sen θ, así que esas son las coordenadas del punto.

¿De dónde salen valores exactos como √3/2?

De dos triángulos especiales. La mitad de un triángulo equilátero de lado 2 tiene lados 1, √3 y 2, así que sen 60° = √3/2 y cos 60° = 1/2. Un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1 tiene hipotenusa √2, así que sen 45° = cos 45° = √2/2.

¿Qué es el ángulo de referencia?

Es el ángulo agudo entre el radio y el eje x. Un ángulo y su ángulo de referencia tienen el mismo seno, coseno y tangente salvo el signo, que depende del cuadrante.