Cercle trigonométrique

Formules

• Point du cercle (cos θ, sin θ)
• Tangente tan θ = sin θ / cos θ
• Identité sin²θ + cos²θ = 1
• Degrés en radians multiplie par π / 180

Exemple corrigé

Trouve les valeurs exactes de sin, cos et tan pour 150°.

1. 150° est dans le deuxième quadrant, où le sinus est positif et le cosinus négatif.
2. L'angle de référence est 180° − 150° = 30°.
3. sin 30° = 1/2 et cos 30° = √3/2.
4. Donc sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2 et tan 150° = (1/2) / (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.

Réponse: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2, tan 150° = −√3/3.

Erreurs fréquentes

• Donner un signe positif au cosinus dans le deuxième quadrant : seul le sinus y est positif.
• Inverser sin et cos : x correspond à cos θ et y à sin θ.
• Donner une valeur à tan 90° : elle n'est pas définie, car cos 90° = 0.
• Oublier l'unité utilisée dans l'énoncé : 150° font 5π/6 radians.

À propos de cet outil

Le cercle trigonométrique a pour rayon 1 et pour centre l'origine. Pour un angle θ mesuré dans le sens direct à partir de l'axe des abscisses, le point du cercle a pour coordonnées (cos θ, sin θ), et tan θ = sin θ / cos θ. Fais glisser le point pour voir l'angle en degrés et en radians, le triangle rectangle, les valeurs exactes de sin, cos et tan aux angles remarquables (comme √3/2 pour 30° et 60°) et les courbes du sinus et du cosinus qui se tracent en même temps.

Astuces

• Dans le premier quadrant tout est positif, dans le deuxième seulement le sinus, dans le troisième seulement la tangente, dans le quatrième seulement le cosinus.
• Pour passer des degrés aux radians, multiplie par π/180 : 30° = π/6 et 135° = 3π/4.
• La tangente n'est pas définie en 90° et 270°, car le cosinus y vaut 0 et on ne divise pas par 0.

Questions fréquentes

Pourquoi le point a-t-il pour coordonnées (cos θ, sin θ) ?

Le rayon est l'hypoténuse du triangle rectangle et mesure 1. Le côté horizontal vaut 1 × cos θ et le côté vertical 1 × sin θ : ce sont les coordonnées du point.

D'où viennent les valeurs exactes comme √3/2 ?

De deux triangles particuliers. La moitié d'un triangle équilatéral de côté 2 a pour côtés 1, √3 et 2, donc sin 60° = √3/2 et cos 60° = 1/2. Un triangle rectangle isocèle de côtés 1 a une hypoténuse de √2, donc sin 45° = cos 45° = √2/2.

Qu'est-ce qu'un angle de référence ?

C'est l'angle aigu entre le rayon et l'axe des abscisses. Un angle et son angle de référence ont les mêmes sin, cos et tan au signe près, qui dépend du quadrant.