Einheitskreis

Formeln

• Punkt auf dem Kreis (cos θ, sin θ)
• Tangens tan θ = sin θ / cos θ
• Trigonometrischer Pythagoras sin²θ + cos²θ = 1
• Grad in Bogenmaß mit π / 180 multiplizieren

Rechenbeispiel

Bestimme die exakten Werte von sin, cos und tan für 150°.

1. 150° liegt im zweiten Quadranten, wo der Sinus positiv und der Kosinus negativ ist.
2. Der Bezugswinkel ist 180° − 150° = 30°.
3. sin 30° = 1/2 und cos 30° = √3/2.
4. Also ist sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2 und tan 150° = (1/2) / (−√3/2) = −1/√3 = −√3/3.

Ergebnis: sin 150° = 1/2, cos 150° = −√3/2, tan 150° = −√3/3.

Häufige Fehler

• Dem Kosinus im zweiten Quadranten ein positives Vorzeichen geben: Dort ist nur der Sinus positiv.
• Sinus und Kosinus vertauschen: x ist cos θ und y ist sin θ.
• Einen Wert für tan 90° angeben: Er ist nicht definiert, weil cos 90° = 0.
• Vergessen, welche Einheit die Aufgabe verwendet: 150° sind 5π/6 im Bogenmaß.

Über dieses Tool

Der Einheitskreis hat den Radius 1 und den Mittelpunkt im Ursprung. Für jeden Winkel θ, gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse gemessen, liegt der Punkt auf dem Kreis bei (cos θ, sin θ), und tan θ = sin θ / cos θ. Zieh den Punkt und sieh den Winkel in Grad und Bogenmaß, das rechtwinklige Dreieck darunter, die exakten Werte von sin, cos und tan bei den besonderen Winkeln (etwa √3/2 bei 30° und 60°) und wie sich Sinus- und Kosinuskurve dabei aufbauen.

Tipps

• Im ersten Quadranten ist alles positiv, im zweiten nur sin, im dritten nur tan, im vierten nur cos.
• Von Grad ins Bogenmaß rechnest du mit π/180: 30° = π/6 und 135° = 3π/4.
• tan θ ist bei 90° und 270° nicht definiert, weil cos θ dort 0 ist und man nicht durch 0 teilen kann.

Häufige Fragen

Warum liegt der Punkt bei (cos θ, sin θ)?

Der Radius ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks und hat die Länge 1. Die waagerechte Seite ist 1 × cos θ, die senkrechte 1 × sin θ. Das sind die Koordinaten des Punkts.

Woher kommen exakte Werte wie √3/2?

Aus zwei besonderen Dreiecken. Ein halbes gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2 hat die Seiten 1, √3 und 2, also sin 60° = √3/2 und cos 60° = 1/2. Ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit Katheten 1 hat die Hypotenuse √2, also sin 45° = cos 45° = √2/2.

Was ist ein Bezugswinkel?

Der spitze Winkel zwischen Radius und x-Achse. Ein Winkel und sein Bezugswinkel haben dieselben Werte für sin, cos und tan bis auf das Vorzeichen, das vom Quadranten abhängt.